ハローワークに失業保険の申請をしていれば、ハローワーク以外の方法で就職が決まった場合(正社員)も、お祝い金？が支給されるのでしょうか!?

再就職手当のことですね。一般的にはご質問への答えは「YES」です。
ですが、
再就職手当てが支給されるのは、雇用保険受給資格者で下記の条件を満たす必要があります。

①再就職日の前日時点で、基本手当の支給残日数が３分の１以上かつ４５日以上あること（残り少ないとダメ）
②待機期間（７日間）が経過した後の再就職（申請後1週間以内だとダメ）
③再就職先で１年以上雇用されるのが確実であること（短期の契約社員じゃダメ）
④再就職先でも雇用保険の被保険者となること（雇用保険に入らないバイトじゃダメ）
⑤再就職先が離職前の会社や関連会社ではないこと（子会社などじゃダメ）
⑥就職日前３年間に再就職手当てなどを支給されていないこと（以前に同じものを貰っていたら要注意）
⑦求職の申し込みをして受給資格者認定を受けた日より前に採用が内定した再就職先ではないこと（先に就職が決まっていて失業保険申請してないこと）
⑧失業給付金の給付制限を受けている場合、待機期間満了後１ヶ月間はハローワークや一定の職業紹介業者の紹介による再就職であること（1ヶ月以内ならハロワか人材紹介などでないとダメ）

いろいろと多いですが、そう難しいものではないです。

失業保険についての質問なのですが
契約社員で半年契約で半年間しっかり働き任期満了で退職した場合は失業手当はでますか？
聞いた話だと失業手当をもらえる条件が半年から一年にかわったときいたのですが…
契約
社員で失業手当を貰うにはどうすればいいのか教えてください！！

辞めた状況が書いていませんが、それによって回答が違います。雇用保険はそんなに簡単なもんじゃないですよ。
契約期間満了で会社から契約更新を言われても断って辞めれば自己都合退職です。
ただし、契約社員の場合は給付制限３ヶ月がありませんので早く受給できます。その場合は雇用保険被保険者期間は１２ヶ月必要です。
逆に、契約更新を言われていたのに更新してくれなかった場合は「特定受給資格者」になって６ヶ月でも受給可能です。

失業保険の特定受給資格者にあてはまりますか？
現在勤めている職場から、来年度は更新をしないと話がありました。
1年毎の更新で、計3回、3年間更新しました。
今年度更新の際、通知書が渡されたのですが、更新については不明記されていました。(更新する可能性がある・更新しないの項目に明確な表示がなく、それまでは、更新する可能性があるにチェックがされていました。)
私自身は、不安がありましたが更新の可能性に希望を持っていました。
更新をしないと話があった際、そのことも話しましたが撤回されることはありませんでした。
どこかほかの部署へのあっせんもお願いしましたが難しいと話がありました。

このまま、退職になってしまった場合、失業保険をしばらくはもらう形になるかと思うのですが
この場合は、特定受給資格者にあてはまりますか？

特定受給者にあてはまる場合、年齢によって日数が違いますが、いつ手続きするのがよいでしょうか？

雇用保険の加入累計は10年1か月です。
年齢が6月に45歳になります。

4月に手続きをすると44歳で240日、6月に手続きをすると45歳になるので270日になるのでしょうか？

上手く説明できずわかりずらいかと思いますが、よろしくお願いします。

３年未満の直契約社員は自分から辞めた場合でも給付制限のない自己都合退職になります。（特定受給資格者）
３年以上になれば契約社員でも一般社員と同じ扱いになりますから更新を希望してできなければ会社都合の退職になります。
おっしゃるように、４４歳で１０年以上２０年未満ですから２４０日、４５歳になれば２７０日になります。
ただし、年齢は退職時点の年齢になります。

パートで働いており３ヶ月毎の更新です。

契約の更新が無いと会社から言われた 場合失業保険はすぐにもらえるのでしょうか？

下の回答の方はちょっと間違っていますね。
失業保険の受給資格は
会社都合の場合離職日以前一年間で
6ヶ月以上雇用保険に加入していれば、大丈夫です。（三年ではありません）この時は失業保険は給付制限（三ヶ月）なく支給されます。
退職後、約二週間後に会社から離職票が届きます。離職票他を持参し、ハローワークで手続きして下さい。
手続きした日から7日間待機期間があり待機期間満了の翌日から支給対象となります。
手続きした日から約一ヶ月後に支給となります。（この間に雇用説明会と認定日があります。）

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